$A$ 型 Hessenberg 簇的包含偏序集

旗簇是著名的代数簇，具有许多重要的几何、组合和表示论性质。Hessenberg 簇是旗簇的一个子簇，由两个参数确定：李代数 $\mathfrak{g}$ 的一个元素 $X$ 和一个 Hessenberg 子空间 $H\subseteq \mathfrak{g}$。本文考虑当两个 Hessenberg 空间与 $X$ 配对时何时定义相同的 Hessenberg 簇。为了回答这个问题，我们给出了具有固定第一参数 $X$ 的 $A$ 型 Hessenberg 簇的包含偏序集 $\mathcal{P}_X$，并直接证明了如果 $X$ 不是元素 $\bf 1$ 的倍数，则包含 Borel 子代数的 Hessenberg 空间确定不同的 Hessenberg 簇。最后，我们给出了 $\mathcal{P}_X$ 上的一个自然对合，该对合诱导了簇的同胚，并证明了当 $X$ 是正则幂零元素时 $\mathcal{P}_X$ 的额外性质。