近最优通用整数编码的构造

通用整数编码（UCI）适用于概率分布未知且字母表大小无限可数的离散无记忆源。UCI 是一类前缀码，对于任何递减的概率分布 $P$，其平均码字长度与 $\max\{1,H(P)\}$ 的比值在一个常数扩展因子 \textcolor{red}{$C_{\mathcal{C}}$} 之内，其中 $H(P)$ 是 $P$ 的熵。对于任何 UCI 码 $\mathcal{C}$，定义 \emph{最小扩展因子} \textcolor{red}{$C_{\mathcal{C}}^{*}$} 来表示 $\mathcal{C}$ 的扩展因子集合的下确界。每个 $\mathcal{C}$ 都有一个唯一对应的 \textcolor{red}{$C_{\mathcal{C}}^{*}$}，且 \textcolor{red}{$C_{\mathcal{C}}^{*}$} 越小，$\mathcal{C}$ 的压缩性能越好。实现最小 \textcolor{red}{$C_{\mathcal{C}}^{*}$} 的 UCI 类 $\mathcal{C}$（或族 $\{\mathcal{C}_i\}_{i=1}^{\infty}$）被定义为 \emph{最优 UCI}。目前最好的结果是，最优 UCI 的 $C_{\mathcal{C}}^{*}$ 范围为 $2\leq C_{\mathcal{C}}^{*}\leq 2.5$。在本文中，我们证明了递减分布的一个更紧的概率不等式，这为研究 UCI 的性质提供了新工具。在此不等式的基础上，我们证明存在一类近最优 UCI，称为 $\nu$ 码，实现了 \textcolor{red}{$C_\nu=2.0386$}。这将最优 UCI 的最小扩展因子范围缩小到 $2\leq C_{\mathcal{C}}^{*}\leq 2.0386$。我们表明 $\nu$ 码目前在最小扩展因子方面是最优的。此外，我们提出了一个新的证明，表明最优 UCI 的最小扩展因子下界为 $2$。