环图中寻找公平独立集的复杂性

设 $G$ 为一个环图，设 $V_1,\ldots,V_m$ 为其顶点集到 $m$ 个集合的一个划分。若对所有 $i \in [m]$ 均有 $|S \cap V_i| \geq \frac{1}{2} \cdot |V_i| -1$，则称 $G$ 的独立集 $S$ 公平地表示该划分。已知对每一个环图及其顶点集的每一个划分，均存在一个公平表示该划分的独立集（Aharoni 等人，A Journey through Discrete Math., 2017）。我们证明寻找此类独立集的问题是 $\mathsf{PPA}$-完全的。作为一个应用，我们证明在 Schrijver 图中寻找单色边的问题——给定使用少于其色数的颜色数的着色之简洁表示——同样是 $\mathsf{PPA}$-完全的。该工作受「环加三角形」问题及其推广的计算方面所推动。