LWE 代数算法的复杂性

Arora 和 Ge 引入了一种无噪声多项式系统，通过线性化来计算带误差学习（LWE）实例的密钥。随后，Albrecht 等人利用 Arora-Ge 多项式模型，在半正则性假设下研究了 LWE 多项式系统上 Gröbner 基计算的复杂性。在本文中，我们重新审视了 Arora-Ge 多项式，并证明其满足 Caminata 和 Gorla 最近引入的一种通用性条件，称为处于通用坐标。对于处于通用坐标的多项式系统，总是可以根据 Castelnuovo-Mumford 正则性来估计 DRL Gröbner 基计算的复杂性，进而也可以通过 Macaulay 界进行估计。此外，我们将 Semaev 和 Tenti 的 Gröbner 基算法推广到具有有限正则度的任意多项式系统。特别是，该算法的存在提供了另一种根据正则度来估计 DRL Gröbner 基计算复杂性的方法。在实践中，LWE 多项式系统的正则度是未知的，但总是可以估计可达到的最低正则度。因此，从设计者的最坏情况角度来看，这种方法为一般、二进制密钥和二进制误差的 LWE 提供了次指数复杂性估计。在 Dachman-Soled 等人最近的工作中，分析了存在侧信息时 LWE 的硬度。利用他们的框架，我们讨论了如何将提示纳入 LWE 多项式系统以及它们如何影响 Gröbner 基计算的复杂性。