符号图的色数

1982 年，Zaslavsky 引入了符号图 $G$ 的正常顶点着色概念，即映射 $\phi\colon V(G)\to \mathbb{Z}$，使得对于任意两个相邻顶点 $u$ 和 $v$，颜色 $\phi(u)$ 不同于 $\sigma(uv)\phi(v)$，其中 $\sigma(uv)$ 是边 $uv$ 的符号。Zaslavsky 的研究重点主要在于与符号图着色相关的多项式不变量，而非单个符号图着色的行为。我们通过提出符号图色数的定义，继续研究符号图着色，该定义提供了无符号图色数的自然推广。我们建立了该不变量的基本性质，给出了基于底层无符号图色数的界，研究了符号平面图的色数，并证明了著名的 Brooks 定理向符号图的推广。