等边五边形的Bring六次曲线

考虑欧几里得平面中的等边五边形 $V_1,\ldots,V_5$。当我们识别出通过平移、旋转和缩放而不同的五边形时，我们得到的可能形状的模空间是一个经常被研究的多边形空间：一个拓扑上已知为四重环面（亏格4）的二维流形 $E_5$。我们从几何上研究 $E_5$，目标是得到该可能形状地形的共形映射。我们使用的微分几何全部归功于高斯，尽管其中大部分以其学生黎曼的名字命名。流形 $E_5$ 从Hausmann和Knutson的Grassmannian方法继承了一个黎曼度量，即度量 $e_5$，在该度量下 $E_5$ 具有240个等距映射：一个可选的反射与五个边向量 $V_{k+1}-V_k$ 组装成五边形的顺序的任意排列的组合。赋予 $E_5$ 由 $e_5$ 施加的共形结构，得到一个亏格为4且具有120个自同构的紧黎曼曲面：这120个是保持定向的等距映射。但只有一个黎曼曲面具有这些性质：Bring六次曲线。因此 $(E_5, e_5)$ 共形地嵌入双曲平面，就像Bring六次曲线一样，作为一个由240个三角形组成的重复图案，每个三角形的顶角为 $\frac{\pi}{2}$、$\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{\pi}{5}$。该共形映射实现了我们的目标。为了在我们的地图上绘制五边形，我们通过求解Beltrami方程（à la Gauss）计算了 $E_5$ 的一对初始等温坐标。然后，我们使用共形映射将这些等温三角形区域之一转换为 $(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{5})$ 双曲三角形的Poincaré投影。