五边形的几何:从高斯到罗宾斯
度量几何
2007-05-23 v1
摘要
高斯一颗几乎被遗忘的明珠告诉我们,如何通过绕五边形一周并测量每个顶点三角形(即顶点为五边形三个连续顶点的三角形)的面积来计算五边形面积。我们给出这一优美公式的若干证明与推广至六边形等情形,并考虑仿射正则多边形的特例。高斯五边形公式事实上等价于 Monge 公式,而后者又等价于 Ptolemy 公式。另一方面,我们给出 Robbins 关于圆内接五边形边长求面积公式的新证明,这是 Ptolemy 公式的推论。主要工具很简单:仅通过结式从代数方程中消去变量。结合高斯与 Robbins 公式,我们得到任意圆内接五边形面积的显式有理表达式。于是,在历经数个世纪的三角形与四边形几何之后,我们抵达了非平凡的五边形几何。
引用
@article{arxiv.math/0403503,
title = {Geometry of pentagons: from Gauss to Robbins},
author = {Dragutin Svrtan and Darko Veljan and Vladimir Volenec},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0403503},
year = {2007}
}
备注
22 pages, 8 figures