Kolmogorov复杂度的公理力量
逻辑
2013-01-16 v1 计算复杂性
摘要
著名的哥德尔不完备定理指出，对于每一个一致的、足够丰富的形式理论T，都存在在T中不可证明的真命题。这样的命题自然可以作为公理添加，但我们如何获得它们？一种经典（且被充分研究）的方法是为某个理论T添加一个声称T一致性的公理。本文讨论另一种方法，受Chaitin版本的哥德尔定理启发，其中随机性（或不可压缩性）的声称被概率性地添加为公理，并表明这实际上没有用处，即这无助于我们证明新的有趣定理。这个结果回答了Lipton最近提出的一个问题。如果考虑证明的大小，情况会发生变化：随机选择的公理可能有助于使证明更短，除非NP=PSPACE。然后我们研究“x的Kolmogorov复杂度超过n”这类语句的一般公理力量。它们是皮亚诺算术的Π1（全称量化）语句。我们表明，通过添加所有这类真语句，我们得到一个证明所有真Π1语句的理论，并提供了更详细的分类。特别地，要推导所有真Π1语句，只需为每个n（甚至为无穷多个n）添加一个这种类型的语句，如果字符串以特殊方式选择的话。另一方面，我们可以为大多数长度为n的x（对每个n）添加这种类型的语句，但仍然得到一个弱理论。我们还研究了与“随机公理”相关的其他逻辑问题。最后，我们考虑一个声称给定无限二进制序列是Martin-Löf随机的理论。这个声称可以用不同的方式形式化。我们表明不同的形式化密切相关但不等价，并研究了它们的性质。
引用
@article{arxiv.1301.3392,
title = {The axiomatic power of Kolmogorov complexity},
author = {Laurent Bienvenu and Andrei Romashchenko and Alexander Shen and Antoine Taveneaux and Stijn Vermeeren},
journal= {arXiv preprint arXiv:1301.3392},
year = {2013}
}