单双列Polyomino的面积生成函数

在Polyomino枚举研究的早期，一种称为列凸Polyomino的模型被引入，并找到了其面积生成函数。该生成函数是有理函数：分子为四次，分母为三次。列双Polyomino是指其列可以有一个或两个连通分量的Polyomino。单双列Polyomino是一种列双Polyomino，其中不存在相邻两列各有两个连通分量的情况。单双列Polyomino不易处理，但其面积生成函数仍可求得。为找到该生成函数，我们使用了Temperley方法的升级版本。尽管该技术在当时被广泛使用，我们的应用呈现出两个有趣的特点。首先，我们一次添加一列或两列，从而绕过了那些以双分量列结尾的单双列Polyomino。（通常的做法是一次只添加一列。）其次，我们得到了一个包含所求生成函数的一阶和二阶导数的函数方程。（此类方程通常只涉及一阶导数。在某些情况下，甚至不涉及任何导数。）正是由于后一个有趣的特点，Temperley方法产生了非常复杂的生成函数公式。尽管如此，从该公式可以轻松计算泰勒多项式。因此，我们有充分证据表明，n个单元格的单双列Polyomino的数量渐近表现为0.119443*3.522020^n。作为对比，n个单元格的列凸Polyomino的数量渐近表现为0.180916*3.205569^n。