取值于一致空间的单变量函数的近似变差与逐点选择原理

设 $T\subset\mathbb{R}$，$(X,\mathcal{U})$ 为一致空间，其一致性 $\mathcal{U}$ 具有至多可数的伪度量族（gage） $\{d_p:p\in\mathcal{P}\}$。给定 $f\in X^T$（=从 $T$ 到 $X$ 的所有函数族），$f$ 的近似变差为双参数族 $\{V_{\varepsilon,p}(f):\varepsilon>0,p\in\mathcal{P}\}$，其中 $V_{\varepsilon,p}(f)$ 为所有满足对任意 $t\in T$ 有 $d_p(f(t),g(t))\le\varepsilon$ 的函数 $g\in X^T$ 关于 $d_p$ 在 $T$ 上的 Jordan 变差 $V_p(g)$ 的下确界。我们建立如下逐点选择原理：若 $\{f_j\}_{j=1}^\infty\subset X^T$ 为逐点相对序列紧的函数列，且对所有 $\varepsilon>0$ 和 $p\in\mathcal{P}$ 有 $\limsup_{j\to\infty}V_{\varepsilon,p}(f_j)<\infty$，则其含有一个在 $T$ 上逐点收敛于有界受控函数 $f\in X^T$ 的子列。我们通过适当例子说明该结果，并给出用近似变差刻画受控函数 $f\in X^T$ 的刻画。