非周期 Sobolev 空间中顶点修正格点规则的分析

在 1993 年、1994 年和 1996 年的一系列论文中，Sloan 和 Niederreiter 引入了一种针对非周期函数的格点规则修正方法，称为“顶点修正格点规则”，以及一种特定的类型称为“最优顶点修正格点规则”。在 1994 年的论文中，Niederreiter 和 Sloan 明确专注于斐波那契格点规则，这是一种特别优良的二维格点规则选择。该系列论文中给出的误差界与星偏差相关。在本文中，我们将问题置于所谓的无锚 Sobolev 空间中，这是一种如今常被研究的再生核希尔伯特空间，其中函数具有$L_2$可积混合一阶导数。已知通过构造，随机平移格点规则以及确定性帐篷变换格点规则和确定性完全对称化格点规则可以在该空间中实现接近$O(N^{-1})$的收敛速度，分别见 Sloan, Kuo & Joe (2002) 和 Dick, Nuyens & Pillichshammer (2014)。我们推导了无锚 Sobolev 空间中顶点修正格点规则的最坏情况误差分解，将其表示为 Korobov 空间中的最坏情况误差、一个多重线性空间以及一些额外的“混合项”。对于一维情况，该最坏情况误差是显而易见的，并给出了梯形规则的显式表达式。对于二维情况，该混合项也具有显式形式，我们为其推导了上下界。针对这种情况，我们证明了存在具有良好最坏情况误差界的格点规则，其附加混合项的形式为$N^{-1} \log^2(N)$。