时间序列的拓扑共轭检验

本文考虑从有限样本检验两个动力系统 $(X,f)$ 与 $(Y,g)$ 拓扑共轭的问题。更确切地说，给定 $x_1,\ldots, x_n \subset X$ 与 $y_1,\ldots,y_n \subset Y$ 满足 $x_{i+1} = f(x_i)$ 与 $y_{i+1} = g(y_i)$ 以及 $h: X \rightarrow Y$，我们给出若干检验以检查 $f$ 与 $g$ 是否经由 $h$ 拓扑共轭。对于共轭系统，检验值接近于零；对于非共轭系统，检验值较大。建立了在样本量趋于无穷时检验值的收敛性。给出了若干数值例子以表明方法的可扩展性与鲁棒性。此外，我们展示了所提方法如何特化为 Takens 嵌入定理中充分嵌入维数的检验。我们的方法也适用于给定确定性过程的两个观测量（形式为单维或多维时间序列）的情形。此时，可通过比较其 Takens 重构的动力学来评估它们的相似性。