Temperley-Lieb 代数：从纽结理论到量子力学中的逻辑与计算

本文旨在追溯一些看似不同主题之间开始浮现的惊人而优美的联系：纽结理论、范畴量子力学以及逻辑与计算。我们将特别关注以下两个主题：- Temperley-Lieb 代数迄今为止总是被呈现为某种商：要么像 Jones 最初表述那样通过生成元和关系以代数方式呈现，要么像 Kauffman 表述那样作为模平面同痕的图代数。我们将使用交互几何（作为线性逻辑分支发展起来的、在切割消除下证明的动态解释）的工具，给出 Temperley-Lieb 范畴的直接描述——用计算机科学的术语来说，即一种“完全抽象表示”。这也为交互几何带来了新内容，因为我们发展出其平面版本，并验证了切割消除的解释（“执行公式”，或“通过反馈的复合”）保持平面性。- 我们还将展示 Temperley-Lieb 代数如何提供一个自然的环境，在其中计算可以以图形式进行几何简化——“拉直线条”。为此，我们将引入一个“平面 λ-演算”，并展示它如何在 Temperley-Lieb 范畴中得到解释。