TAEN：用于正问题与反问题的模型约束Tikhonov自编码网络

高效实时求解正问题和反问题在工程与科学应用中至关重要。机器学习代理模型作为传统方法的有力替代方案出现，大幅降低了计算时间。然而，这些模型通常需要大量训练数据才能在多样化场景中实现鲁棒泛化。虽然基于物理的方法可以部分缓解这种数据依赖并确保物理解释性，但在数据稀缺条件下仍面临挑战。纯数据驱动和基于物理的机器学习方法在训练数据不足时均表现出严重的过拟合问题。我们提出了一种新型Tikhonov自编码模型约束框架（TAEN），能够利用单一任意观测样本同时学习正问题和反问题的代理模型。我们建立了完整的理论基础，包括该方法在线性情形下的正问题和反问题推断误差界。为进行对比分析，我们推导了纯数据驱动方法和模型约束方法的等价表述。该方法的核心在于一种数据随机化策略，其作为探索训练数据空间的生成机制，使从单一观测样本有效训练正问题和反问题代理模型成为可能，同时对学习过程进行正则化。我们通过两个具有挑战性的反问题——二维热导率反演和时间依赖二维Navier-Stokes方程的初始条件重构——进行了大量数值实验验证。结果表明，TAEN在正问题和反问题上分别达到了与传统Tikhonov求解器和数值正问题求解器相当的精度，同时实现了数个数量级的计算加速。