$n^{-s}$ 偏和的对称性

在单项 $n^{-s}$（其中 $n \in P$ 小于特定值 $n_p$）与由大于 $n_p$ 的相邻步长 $n$ 组成的共轭区域上的和之间，存在一种详细的内部对称性。共轭区域的边界是第一角度差 $\delta \theta_n = -tlog((n+1)/n)$ 等于 $\pi$ 的奇数倍的位置。该对称性定义了复平面上的两个重要点：O'(s)，与原点 O 共轭，且在 $\sigma \in (0,1)$ 时等于 $\zeta(s)$；以及 $P(s)$，与自身共轭，它给出了黎曼-西格尔方程中对离散和的黎曼修正。从 P 到 O 与从 P 到 O' 的距离仅在 $\sigma = 1/2$ 时相等，此时在 $\angle OP$ 与 $\angle PO'$ 相反的单参数条件下 O 与 O' 重合。对该对称性的分析提供了对涉及 $\zeta (s)$ 的许多数论结果（包括其函数方程、解析延拓、黎曼-西格尔方程及其零点）的另一种理解。对三种显式计算算法的讨论说明，当 $\sigma = 1/2$ 时零点出现的表面特殊性通过直接认识该对称性而被消除。