对称拓扑复杂度作为实射影空间Goodwillie欧几里得嵌入塔中的第一个障碍

作为首要目标，本文解释了为什么Goodwillie-Weiss嵌入微积分仅在$m<16$时提供关于$P^m$欧几里得嵌入维数的新信息。在这些低维情形中，描述了具体场景，指明了在相应Taylor塔中寻找潜在但关键的高阶障碍的位置。对于$m>15$，关系$TC^S(P^m)>n-1$被转化为某个同伦上同调欧拉类的平凡性，而该类又成为产生$P^m$的$n$维欧几里得嵌入的唯一Taylor障碍。提出了这种主要障碍的一个推测性配边形式，作为Davis关于$P^m$浸入问题的BP方法的类比。应用欧拉类观点的一个形式证明了$TC^S(P^3)=5$，并提出了该方法可能产生新信息的几个更高维射影空间。作为第二个目标，本文扩展了Farber在运动规划问题上的工作，以发展机械系统$S$的对称运动规划器概念。遵循Farber的思路，这一概念与$S$状态空间的对称拓扑复杂度相关联。文章最后勾勒了为$P^3$构造一个具体的5-局部规则对称运动规划器的方案。