超自然数与算术位点上的新拓扑

在 arXiv:1405.4527 中，Connes 和 Consani 引入并研究了算术位点，并证明了点的同构类与有限阿代尔类 $\mathbb{Q}^*_+ \backslash \mathbb{A}^f_{\mathbb{Q}} / \widehat{\mathbb{Z}}^*$ 之间存在规范双射。$\mathbb{A}^f_{\mathbb{Q}}$ 在该集合上诱导的拓扑是平凡的，因此该空间通常通过非交换几何进行研究。然而，我们可以在此点集上定义另一种拓扑，它具有人们可能期望神话对象 $\overline{\mathbf{Spec}(\mathbb{Z})}/\mathbb{F}_1$ 具备的若干性质：它是紧致的，拥有不可数的开集基，每个非空开集都是稠密的，并且对于不可比的点满足 $T_1$ 分离公理。