分数阶扩散和波动方程的间断Galerkin方法的超收敛性

我们考虑$\partial_tu-\partial_t^{-\alpha}\nabla^2u=f(t)$的初边值问题，即分数阶扩散（$-1<\alpha<0$）或波动（$0<\alpha<1$）方程。通过在时间上应用分段线性间断Galerkin方法，在空间上应用分段线性协调有限元方法，得到数值解。时间网格在$t=0$附近适当分级，但空间网格是拟均匀的。先前我们证明了，在空间$L_2$范数下，误差阶为$k^{2+\alpha_-}+h^2\ell(k)$，在$t$上一致，其中$k$是最大时间步长，$h$是空间有限元的最大直径，$\alpha_-=\min(\alpha,0)\le0$，$\ell(k)=\max(1,|\log k|)$。这里，我们推广了经典热方程（即$\alpha=0$情形）的一个已知结果，表明在每个时间层$t_n$上，解关于$k$是超收敛的：误差阶为$(k^{3+2\alpha_-}+h^2)\ell(k)$。此外，一个简单的后处理步骤（使用Lagrange插值）对任意$t$都产生超收敛逼近。数值实验表明，如果$\alpha<0$，我们的理论误差界是悲观的。忽略对数因子，我们观察到在$t=t_n$处的DG解以及后处理后在所有$t$处的误差阶为$k^{3+\alpha_-}+h^2$。