用于移位系统序列的子空间回收及其在图像恢复中的应用

对于许多涉及系统矩阵缓慢变化的线性方程组序列的应用，子空间回收通过利用系统间的关系并重用搜索空间信息，可在序列中线性方程组求解的总次数上实现迭代次数的巨大收益。然而，对于一般的（即非恒等）移位系统，且移位值在较宽范围内变化时，线性方程组的性质也变化很大，这使得回收效果降低。如果将这样的系统序列嵌入到非线性迭代中，问题会更加复杂，需要特殊的方法才能有效使用回收。在本文中，我们针对采用非线性迭代计算合适正则化矩阵的大规模图像重建与复原技术，开发了更新、更高效的 Krylov 子空间回收方法。对于每个新的正则化矩阵，我们需要针对正则化参数序列 $\gamma_\ell$ 求解正则化线性方程组 ${\bf A} + \gamma_\ell {\bf E}_k$，以找到最优正则化解，该解反过来用于更新正则化矩阵。在本文中，我们分析系统与解的特征，以选择适当的技术快速求解每个系统。具体而言，我们采用内外回收方法，对每个非线性步使用较大的主回收空间，对每个移位使用较小的回收空间。我们提出了一种高效方法，从主回收空间和较小的移位特定回收空间获得良好初值，从而实现快速收敛。我们的方法大幅减少了朴素方法将产生的矩阵-向量乘积总数。我们的方法更普遍地适用于求和矩阵为半正定的移位系统序列。