向量空间的次优 s-并族与 s-并反链

设 $V$ 为有限域 $\mathbb{F}_{q}$ 上的 $n$ 维向量空间，令 $\mathcal{L}(V)=\bigcup_{0\leq k\leq n}\left[V\atop k\right]$ 为 $V$ 的所有子空间的集合。子空间族 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{L}(V)$ 称为 $s$-并的，若对所有的 $F$, $F'\in\mathcal{F}$ 均有 dim$(F+F')\leq s$。族 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{L}(V)$ 称为反链，若对任意两个不同的 $F, F'\in \mathcal{F}$ 有 $F\nleq F'$。$\mathcal{L}(V)$ 中最优 $s$-并族已由 Frankl 和 Tokushige 于 $2013$ 年确定。$\mathcal{L}(V)$ 中 $s$-并 $(s<n)$ 反链基数的上界已由 Frankl 近期建立，但最优反链的结构尚未给出。本文确定了向量空间的所有次优 $s$-并族，进而研究 $s$-并反链。对于 $s=n$ 或 $s=2d<n$，我们完全确定了所有最优与次优 $s$-并反链。对于 $s=2d+1<n$，我们证明一个最优反链或为 $\left[V\atop d\right]$，或包含于满足一个与阴影相关的等式的 $\left[V\atop d\right]\bigcup \left[V\atop d+1\right]$ 中。