通过 Ch(R) 中的余极限构造分层上同调量子码

我们引入了\emph{分层余极限码}：通过对从有限偏序集到交换环~$R$ 上链复形范畴的函子 $F\colon X\to\mathbf{Ch}(R)$ 逐次取余极限 $\mathcal C_\bullet(X):=\operatorname*{colim}_{\sigma\in X}F(\sigma)$ 而得到的稳定子码。仅需 $F$ 中态射的传递性与边界相容性的公理即可保证 $\partial^2=0$，从而同调 $H_\bullet$ 与上同调 $H^\bullet$ 提供了通常的 CSS $Z$ 型与 $X$ 型逻辑扇区；$H_\bullet$ 中的挠元通过万有系数序列对 qudit 荷进行分类。改变 $F$ 可恢复经典的表面码与颜色码、$\mathbb{RP}^2$ 挠码、码率 $k\sim d$ 的扭转环面族以及 X-cube 型 fracton 模型，且均无需参考环境胞腔复形。矩阵 Smith 标准型（PID 情形）与稀疏高斯消元（域情形）可直接计算 $H_\bullet$，给出继承 $F$ 稀疏性的 LDPC 参数。由于该构造与环无关且具有函子性，它可自然推广至码缝合（推出），并在下一个范畴层级推广至双复形畴壁。因此，分层余极限码为设计、分类与解码拓扑和分形量子码提供了简明的代数框架，而无需绘制任何格点。