退化扩散下停止者对抗奇异控制者博弈

我们研究了一名奇异控制者与一名停止者之间的零和随机博弈，其中底层受控扩散过程的（依赖于状态的）扩散矩阵是退化的。具体地，我们证明了博弈存在值，并确定了停止者的最优策略。动力学的退化阻碍了基于适当变分问题在 Sobolev 空间中求解的分析方法的使用。因此我们采用一种基于由参数 $\gamma>0$ 调制的底层扩散扰动的概率方法。对每个 $\gamma>0$，近似博弈是非退化的，且存在值 $u^\gamma$ 和停止者的最优策略 $\tau^\gamma_*$。令 $\gamma\to 0$，我们证明了 $u^\gamma$ 收敛到函数 $v$，其确定了原博弈的值。我们还显式构造了 $u^\gamma$ 的最优停止时间 $\theta^\gamma_*$，其与 $\tau^\gamma_*$ 相关但不相等，并且几乎必然收敛到退化动力学博弈的一个最优停止时间 $\theta_*$。