引力透镜放大统计. I.二维镜面分布

(已删略) 本文细化了平面点质量分布的引力透镜理论。我们推导了在低光学深度（$\tau \ll 1$）的镜面分布下，针对高放大（$A-1 \gg \tau^2$）情形的宏图像放大分布 $P(A)$，通过将照明图案建模为单个「点质量加弱剪切」透镜图案的叠加来实现。我们指出，点质量加弱剪切透镜产生棱形形态的临界线，且放大十字截面满足简单尺度关系。将该十字截面与剪切分布卷积后，可得 $P(A)$ 中出现的由临界线引起的特征，同样具有简单尺度性。该特征导致 $P(A)$ 在 $A \approx 2/\tau$ 处提升约 20%。在低放大（$A-1 \ll 1$）极限下，宏图像由亮主像和大量靠近各点质量的暗次像组成。考虑到主像与次像之间的相关性，我们推导了低 $A$ 情形下的 $P(A)$。低 $A$ 分布在 $A-1 \sim \tau^2$ 处呈现约 $1/\tau^2$ 峰值，并能平滑地与高 $A$ 分布相吻合。我们合并高低 $A$ 结果，得到实用的半解析 $P(A)$ 表达式。该半解析分布与以往数值结果在整体上 qualitative 一致，但后者在 $\tau$ 最小至 0.1 时显示更强的中等 $A$ 处的临界线引起的特征。我们重新审视低光学深度准则，简单论证单个透镜临界线与其邻居临界线合并的比例约为 $1-\exp(-8 \tau)$。当 $\tau=0.1$ 时，该比例意外地较高：约 55%。对于我们所采用的方法计算 $P(A)$，低光学深度对应 $\tau \ll 1/8$。