平均场无序系统的统计力学：一种哈密顿-雅可比方法

本书旨在呈现用于研究具有无序相互作用的平均场系统行为的新数学技巧。我们主要关注高维统计推断的某些问题以及自旋玻璃。我们所呈现的技巧旨在通过证明这些系统在系统尺寸大极限下渐近满足一个哈密顿-雅可比方程，来确定其自由能。第一章是对统计力学的一般性介绍，聚焦于 Curie-Weiss 模型。我们在第二章简要介绍凸分析与大偏差原理，并利用这些工具确定 Curie-Weiss 模型的极限自由能。在第三章，我们定义哈密顿-雅可比方程的粘性解概念，并用它重新得到 Curie-Weiss 模型的极限自由能。我们发现将同一方法应用于 Curie-Weiss 模型的推广版本存在技术挑战，并基于凸性发展了一种新的选择原理以克服这些挑战。随后我们在第四章转向统计推断，聚焦于从含噪观测中恢复一个大对称秩一矩阵的问题，并看到前一章发展的工具也适用于此设定。第五章是为讨论更具挑战性的自旋玻璃案例所做的准备工作。本章前半部分是关于泊松点过程的自成体系介绍，包括独立同分布随机变量极值的极限定理，我们相信其具有独立意义。我们最终在第六章转向自旋玻璃设定。对于 Sherrington-Kirkpatrick 模型，我们展示如何将 Parisi 公式与哈密顿-雅可比方法相关联。我们以对更具挑战性模型当前研究状态更非正式的讨论作结。