空单纯形的星

设 $X=\{x_1,\ldots,x_n\} \subset \mathbb R^d$ 为一般位置下的 $n$ 个点构成的集合。对于 $k$ 元子集 $\{x_{i_1},\ldots,x_{i_k}\} \subset X$，其度 ${\rm deg}_k(x_{i_1},\ldots,x_{i_k})$ 定义为包含该子集且不含 $X$ 中其他点的空单纯形 $\{x_{i_1},\ldots,x_{i_{d+1}}\} \subset X$ 的个数。集合 $X$ 的 $k$-度记作 ${\rm deg}_k(X)$，定义为 $X$ 的所有 $k$ 元子集度的最大值。我们证明，若 $X$ 是由紧集 $K$ 中独立均匀选取的 $n$ 个点构成的随机点集，则 ${\rm deg}_d(X)=\Theta(n)$，改进了 Bárány、Marckert 与 Reitzner [Many empty triangles have a common edge, Discrete Comput. Geom., 2013] 以及 Temesvari [Moments of the maximal number of empty simplices of a random point set, Discrete Comput. Geom., 2018] 的已有结果，并以显著更简单的证明给出了正确的数量级。此外，我们研究了 ${\rm deg}_k(X)$。在 $k=1$ 的情形下，我们证明 ${\rm deg}_1(X)=\Theta(n^{d-1})$。