稳定Gabor相位恢复与谱聚类

我们考虑从其频谱图，即其Gabor变换的幅度 $|V_\varphi f|$ 中重建信号 $f$ 的问题，$$V_\varphi f (x,y):=\int_{\mathbb{R}}f(t)e^{-\pi (t-x)^2}e^{-2\pi \i y t}dt, \quad x,y\in \mathbb{R}.$$ 此类问题出现在从纳米结构的光学成像到音频处理和分类的广泛应用中。虽然众所周知上述Gabor相位恢复问题的解在自然等价意义下是唯一的，但重建的稳定性问题一直悬而未决。本文发现了相位恢复、谱聚类和谱几何之间深刻而令人惊讶的联系。我们证明了Gabor相位重建的稳定性受限于 $\mathbb{R}^2$ 上平坦度量与 $|V_\varphi f|$ 共形相乘后的Cheeger常数的倒数。而Cheeger常数在谱聚类领域扮演着重要角色，它精确量化了测量 $V_\varphi f$ 的“不连通性”。长期以来人们一直知道测量的不连通支撑会导致不稳定性——我们的结果首次提供了一个逆命题，即不存在其他不稳定性来源。由于Gabor相位恢复在相干衍射成像中具有根本重要性，我们还对这些成像技术的稳定性提供了新的理解：与成像科学中大多数需要促进平滑性或稀疏性的经典问题相反，相位恢复问题的正确正则化促进了测量在从下方限制Cheeger常数意义上的“连通性”。因此，我们的工作首次为开发高效的正则化策略打开了大门。