用于流形重构的切向德劳内复形的稳定性与极小极大最优性

我们考虑流形重构中的最优性问题。观察到随机样本 $\mathbb{X}_n = \left\{X_1,\ldots,X_n\right\}\subset \mathbb{R}^D$，由靠近 $d$ 维子流形 $M$ 的点组成，环境空间中可含或不含异常值。基于切向德劳内复形（Tangential Delaunay Complex），我们构建了一个估计量 $\hat{M}$，它以高概率与环境同伦且 Hausdorff 接近于 $M$。估计量 $\hat{M}$ 由现有算法构建。在具有小振幅加性噪声的模型中，我们证明该估计量在满足可达性约束（reach constraint）的一类子流形上关于 Hausdorff 距离是渐近极小极大最优的。因此，即使没有关于 $M$ 的切空间的先验信息，我们基于切向德劳内复形的估计量也是最优的。这表明通过现有算法即可达到最优收敛速率。在含异常值的模型中也推导了类似结果。我们给出了一个几何插值结果，表明切向德劳内复形关于噪声和切空间的扰动是稳定的。在此过程中，研究了基于局部主成分分析（PCA）的剔除过程和切空间估计量。