基于 Delaunay-Rips 复形的持续同调的稳定性及其在机器学习中的应用

在本文中，我们定义、实现并研究了一种用于计算欧几里得点云数据持续同调的单纯复形构造，我们称之为 Delaunay-Rips 复形（DR）。通过为单纯形赋予 Vietoris-Rips 权重，DR 仅考虑点云 Delaunay 三角剖分中出现的单纯形，从而在持续同调计算中实现了加速。我们记录并比较了 DR 的 Python 实现与其他用于生成持续图的单纯复形构造。通过对点云数据施加充分条件，我们能够从理论上证明使用 DR 生成的持续图的稳定性。当点云在点的扰动下 Delaunay 三角剖分发生改变时，我们证明 DR 生成的持续图表现出不稳定性。由于我们无法保证真实世界数据满足我们的稳定性条件，我们在机器学习应用中展示了 DR 相对于其他单纯复形在持续同调方面的实际鲁棒性。我们在实验中发现，在 ML-TDA 流程中使用 DR 与其他单纯复形构造相比表现相当。