UMD 空间中 Bessel 算子的平方函数与谱乘子

本文考虑了与 Hankel 卷积相关联的平方函数（也称为 Littlewood-Paley g-函数），其作用于 Bochner-Lebesgue 空间 $L^p((0,\infty),B)$ 上的函数，其中 $B$ 是一个 UMD Banach 空间。作为特例，我们研究了由 Bessel 算子 $\Delta_\lambda=-x^{-\lambda}\frac{d}{dx}x^{2\lambda}\frac{d}{dx}x^{-\lambda}$, $\lambda >0$ 的 Poisson 半群的分数阶导数所定义的平方函数。我们利用由 Bessel-Poisson 半群定义的 g-函数的 $L^p((0,\infty),B)$-有界性性质，刻画了 Banach 空间 $B$ 的 UMD 性质。作为副产品，我们证明了 Bessel 算子 $\Delta_\lambda$ 的虚幂 $\Delta_\lambda ^{iw}$, $w\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ 在 $L^p ((0,\infty),B)$, $1<p<\infty$ 中有界这一事实，刻画了 Banach 空间 $B$ 的 UMD 性质。作为平方函数结果的应用，我们确立了由在扇形区域 $\Sigma_\vartheta$ 内全纯的函数 $m$ 所定义的 Bessel 算子的谱乘子 $m(\Delta_\lambda)$ 在 $L^p((0,\infty),B)$ 中的有界性。