由边缘三角划分产生的超图的 Sperner 着色

我们研究 $H^\pi_{k,q}$ 的 Sperner 着色，该超图的超边是由排列 $\pi\in \mathbb{S}_{k-1}$ 定义的 $(k-1)$ 单纯形的边缘三角划分的 facet。Mirzakhani 和 Vondr\'ak 表明，$H^{\mathrm{Id}}_{k,q}$ 的贪心着色会产生最大数量的单色超边。$H_{k,q}^\pi$ 的线图由表示 $[k-1]$ 中哪些连续子数组在 $\pi$ 中是连续的图 $G_\pi$ 的副本构成。我们以正 $k$ 边形的分割 characterize 这些图，也展示了它们如何编码超单形与其 alcoved 三角划分之间的相邻关系。正 $k$ 边形上的二面性群 $D_k$ 的自然作用以及图 $G_\pi$ 扩展到排列群 $\mathbb S_{k-1}$。对于不具旋转不变性的排列的图 $G_\pi$ 的独立集用于定义一种产生比贪心着色更多单色超边的 Sperner 着色类。这种着色也适用于特定排列。