稀疏随机一致超图的谱与局部弱收敛

局部弱收敛，或称Benjamini-Schramm收敛，由Benjamini和Schramm引入。稀疏Erdős–Rényi图的局部弱极限是几乎必然具有泊松后代的Galton-Watson测度。最近，Adhikari、Kumar和Saha证明了稀疏Linial-Meshulam复形的线图收敛到$d$-块Galton-Watson测度。我们研究了一个统一模型：$n$个顶点上稀疏$k$-一致随机超图的加权线图。设$H(n,k,p)$为$k$-一致随机超图，其中$[n]$的每个$k$-子集以概率$p$独立地作为超边包含在内。对于一个$k$-一致超图$H=(V,E)$和$1\le r\le k-1$，定义$r$-集加权线图$G_r(H)=(\mathcal V_r,\mathcal E_r,w_H)$为$$\mathcal V_r=\bigl[\tbinom{n}{r}\bigr],\quad \mathcal E_r=\bigl\{\{\tau_1,\tau_2\}:\tau_1,\tau_2\in\mathcal V_r,\ \exists e\in E\text{ s.t. }\tau_1,\tau_2\subset e\bigr\},$$ 权重为$w_H(\{\tau_1,\tau_2\})=\bigl|\{e\in E:\tau_1,\tau_2\subset e\}\bigr|$。特别地，$G_1(H_n)$推广了Erdős–Rényi图，而$G_{k-1}(H_n)$是Linial-Meshulam复形的线图。我们证明，如果当$n\to\infty$时$\binom{n-r}{k-r}\to \lambda$，那么$G_r(H_n)$几乎必然局部收敛到具有$\operatorname{Poisson}(\lambda)$后代的$(\binom{k}{r}-1)$-块Galton-Watson测度。作为推论，我们得到了$G_r(H_n)$邻接矩阵的极限谱分布。