布尔函数的谱范数、经济筛与线性不变性测试

给定布尔函数 $f, g : \mathbb{F}_2^n \to \{-1,+1\}$，若存在 $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_2)$ 使得对所有 $x$ 有 $f(x)=g(Ax)$，则称它们为{\em 线性同构}。我们在已知--未知模型的容忍性质测试框架下研究该问题，其中 $g$ 被显式给出而 $f$ 仅可通过预言查询访问，即算法可自适应地请求其所选输入 $x \in \mathbb{F}_2^n$ 处 $f(x)$ 的值。给定参数 $\epsilon \ge 0$ 与 $\omega>0$，目标是区分是否存在 $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_{2})$ 使得 $f$ 与 $g(Ax)$ 之间的归一化汉明距离至多为 $\epsilon$，或是否对每个 $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_2)$ 该距离至少为 $\epsilon+\omega$。我们的主要结果是做出 $\widetilde{O} \left( \left( m/\omega \right)^4 \right)$ 次对 $f$ 查询的容忍测试器，其中 $m$ 是 $g$ 谱范数的上界，改进了Wimmer与Yoshida先前的 $\widetilde{O} \left( \left( m/\omega \right)^{24} \right)$ 界。我们辅以对常数 $\omega$（例如 $\omega=1/4$）近乎匹配的下界 $\Omega(m^2)$，改进了Grigorescu、Wimmer与Xie先前的 $\Omega(\log m)$ 下界。算法侧的一个关键技术成分是查询高效的局部列表纠正器。对于下界，我们利用对称密钥密码学中Maiorana--McFarland函数的一个新子类从通信复杂度给出归约。