UMD 格上抽象谐振子的谱乘子定理

我们考虑作用在 UMD Banach 格 $X$ 上的算子，其代数结构与作用于 $L^{2}(\mathbb{R}^{d})$ 的谐振子 $-\frac12\Delta + \frac12|x|^{2}$ 的位置与动量算子相同。更确切地说，我们考虑形如 $\frac12 \sum _{j=1} ^{d}(A_{j}^{2}+B_{j}^{2})$ 的抽象谐振子，其中算子元组 $A=(A_{j})_{j=1} ^{d}$ 与 $B=(B_{k})_{k=1} ^{d}$ 满足 $iA_j$ 与 $iB_k$ 生成 $C_{0}$ 群且服从正则对易关系。我们证明了这些抽象谐振子的函数演算结果，与 $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ 上谐振子 $-\frac12\Delta + \frac12|x|^{2}$ 的经典 H\"ormander 谱乘子估计相吻合。这涵盖了底层度量测度空间非加倍、以及所用函数空间特别不适于外推论证的情形。例如，作为应用我们处理了混合范数 Bargmann-Fock 空间上的谐振子。我们的方法基于 Heisenberg 群的 Schr\"odinger 表示的转移原理，可将问题归约为对 Bochner 空间 $L^{2}(\mathbb{R}^{2d};X)$ 上扭曲 Laplacian 的研究。这可视为 Stone-von Neumann 定理向非 Hilbert 空间的 UMD 格 $X$ 的推广。