量子几何的谱维数

谱维数是时空几何与拓扑的指标，也是比较不同量子引力方法中量子几何描述的工具。之所以可行，是因为它不仅可定义于光滑几何，也可定义于离散（例如单纯形）几何之上。本文考虑定义在赋予额外代数数据的组合复形上的空间几何量子态的谱维数：即圈量子引力 (LQG) 的运动学量子态。初步地，我们以系统的方式研究了经典离散几何中拓扑和离散性的效应。我们寻找在适当机制下能重现经典空间谱维数的态。我们还检验了如下假设：在 LQG 中如同在其他方法中一样，谱维数存在尺度依赖性，即从大尺度下的拓扑维数运行至短距离下较小的维数。虽然我们的结果并未为该假设提供有力支持，但我们可以确定 LQG 量子态重现拓扑维数的时机。总体而言，通过探索组合、拓扑和几何效应的相互作用，并考虑相干态及其叠加态等各种量子态，我们发现离散量子几何的谱维数对底层组合结构的敏感度高于对其相关额外数据细节的敏感度。