具有 $\delta_s$ 型顶点条件的量子图光谱曲线

在本论文中，我们研究了量子图的光谱曲线在特定顶点条件族（我们在此工作中定义的 $\delta_s$ 族）下的行为。我们专注于研究与光谱曲线相关的两个主要量，即 Robin-Neumann 间隙和谱流。我们证明这些量包含了关于光谱曲线、相应本征函数的行为以及图本身几何的信息。对于 $\delta_s$ 族的一个特定子集，即 $\delta$ 族，我们研究了 Robin-Neumann 间隙，它度量了本征值相对于扰动参数的总增量。我们利用这个量证明了光谱曲线的增长是一致有界的，并且平均而言是线性的，其比例因子由图几何决定。对于一般的 $\delta_s$ 顶点条件族，我们研究了一个称为谱流的量，它计算了光谱曲线与某个给定水平截面的定向交点数。我们利用这个量证明了一个指标定理，该定理将特征函数的广义节点缺陷与广义 Dirichlet-to-Neumann 映射的稳定性指标联系起来。我们还证明了谱流包含了关于图拓扑的信息。本论文的部分内容基于与 Ram Band、Marina Prokhorova、Holger Schanz 和 Uzy Smilansky 的合作工作。