亚线性时间内的谱聚类预言机

给定一个图 $G$，它可被划分为 $k$ 个互不相交的扩张图（expander），且外部 conductance 上界为 $\epsilon\ll 1$，我们能否高效地构建一个占用空间很小的数据结构，用于快速将 $G$ 的顶点按照其所属的扩张图（簇）进行分类？形式上，我们需要一个高效的局部计算算法，使得每个扩张图中的顶点被误分类的比例至多为 $O(\epsilon)$。我们将这种数据结构称为\textit{谱聚类预言机}。我们的主要结果是构建一个谱聚类预言机，其查询时间为 $O^*(n^{1/2+O(\epsilon)})$，预处理时间为 $2^{O(\frac{1}{\epsilon} k^4 \log^2(k))} n^{1/2+O(\epsilon)}$，并在任意 $\epsilon \ll 1/\log k$ 时为每个簇提供 $O(\epsilon \log k)$ 的误分类误差。更一般地，可以适当以增加预处理时间为代价来降低查询时间（只要二者乘积约为 $n^{1+O(\epsilon)}$）——这尤其给出了一个近乎线性的谱聚类原语。主要技术贡献是一个亚线性时间预言机，它通过估计 $G$ 中顶点的短随机游走分布，提供对 $G$ 的谱嵌入的点积访问。这些分布本身对谱嵌入的近似很差，但我们证明可以通过一个适当的线性变换来实现高精度的点积访问。接着我们证明，对谱嵌入的点积访问足以设计一个聚类预言机。从高层来看，我们的方法相当于在 $G$ 的谱嵌入中进行超平面划分，但关键在于在谱嵌入中一组精心定义的嵌套子空间上操作，以实现逐簇恢复保证。