生日悖论时间内的谱聚类

给定一个 $(k, \varphi, \epsilon)$-可聚类图中的顶点，即一个顶点集可划分为大小约为 $n/k$ 的 $\varphi$-扩展器的无交并、且外部电导以 $\epsilon$ 为界的图，能否快速判断该顶点属于哪个簇？这个问题可追溯到 Goldreich 和 Ron'11 的扩展测试问题。对于 $k=2$，从给定顶点出发的约 $n^{1/2+O(\epsilon/\varphi^2)}$ 条对数长度游走样本，通过生日悖论近似确定其簇成员关系：随机游走样本“接近”的两个顶点很可能属于同一簇。Czumaj、Peng 和 Sohler [STOC'15] 发起了对一般情况 $k>2$ 的研究，Chiplunkar 等人 [FOCS'18] 和 Gluch 等人 [SODA'21] 的工作表明，对于一般的 $k$，约 $\text{poly}(k)\cdot n^{1/2+O(\epsilon/\varphi^2)}$ 个随机游走样本就足够了。这在 $k$ 的多项式因子范围内匹配了 $k=2$ 的结果，但造成了一个概念上的不一致：如果生日悖论是指导现象，那么查询复杂度应随簇数 $k$ 的增加而降低！由于簇的大小约为 $n/k$，我们期望需要约 $(n/k)^{1/2+O(\epsilon/\varphi^2)}$ 个随机游走样本，这随 $k$ 的增加而减少。我们设计了一种通过混合对数长度游走来表示 $(k, \varphi, \epsilon)$-可聚类图中顶点的新颖方法。这种表示对每个顶点使用最优的约 $(n/k)^{1/2+O(\epsilon/\varphi^2)}$ 条游走，并允许快速最近邻搜索：给定代表 $k$ 个簇的 $k$ 个顶点，我们可以在与 $x$ 的表示大小近乎线性的时间内找到给定查询顶点 $x$ 的簇。这给出了一个查询时间为 $\approx (n/k)^{1/2+O(\epsilon/\varphi^2)}$、空间复杂度为 $k\cdot (n/k)^{1/2+O(\epsilon/\varphi^2)}$ 的聚类预言机，匹配了生日悖论界。