黑盒根式成员判定、零点定理和超越次数的特例算法

根式成员判定及其特例 Hilbert 零点定理（HN）是一个基本的计算代数问题。它是 NP-难的；并且由于有效的零点定理界，存在一个著名的 PSPACE 算法。我们识别出这些问题的一个有用情形，即当输入多项式的超越次数 $r$ 小于变量数 $n$ 时，可以给出实用算法和改进的界。如果 $d$ 是输入多项式的次数界，那么我们可以在大约 $d^r$ 时间内解决根式成员判定问题（即使输入多项式是黑盒）。此前的最佳时间为 $> d^n$（始终有 $d^n\ge d^r$）。此外，当 $r\ll n$ 时，我们显著改进了有效的 Nullstellensatz 次数界。从结构上看，我们的证明表明这些问题可归约为 $r+1$ 个超越次数 $\ge r$ 的多项式的情形。这种输入实例（对应于无或唯一的零化子）是 HN 困难性的核心。我们的证明方法运用了基础的代数几何。