通过微分包含实现稀疏恢复

在本文中，我们通过求解非线性微分包含从噪声线性测量中恢复稀疏信号，该方法基于应用数学中发展的逆尺度空间（inverse scale space, ISS）概念。我们的目标是将这一思想应用于解决统计学中的一个挑战性难题，即利用动力学寻找无偏且符号一致的 Oracle 估计量。我们将我们的动力学称为\emph{Bregman ISS}和\emph{线性化 Bregman ISS}。LASSO 及任何凸正则化方法的一个众所周知的缺点在于估计量的偏差。然而，我们表明在适当条件下，此类动力学的解路径上存在一个无偏且符号一致的点，该点对应于真实信号的无偏估计，且其条目符号与真实符号相同，即 Oracle 估计量。因此，它们的解路径是优于 LASSO 正则化路径的正则化路径，因为后者在达到符号一致性时其点是有偏的。我们还展示了如何在连续和离散设置下高效计算它们的解路径：完整解路径可以分段精确计算，而离散化导出了\emph{线性化 Bregman 迭代}，这是一种简单的迭代阈值规则且易于并行化。针对路径上的特定点，我们在连续和离散设置下建立了理论保证，如符号一致性和极小极大最优 $l_2$-误差界。给出了识别这些点的早停规则。关键处理依赖于为微分包含及其离散化开发微分不等式，这扩展了先前的结果，并导致在选择错误信号之前以指数速度恢复稀疏信号。