自旋系统中的稀疏重构 I：独立同分布自旋

对于定义在随机输入递增构型空间上的一列布尔函数 $f_n : \{-1,1\}^{V_n} \longrightarrow \{-1,1\}$，若存在坐标的子集列 $U_n \subseteq V_n$ 满足 $|U_n| = o(|V_n|)$，使得知道 $U_n$ 中的坐标能给出关于 $f_n$ 取值的非零信息，则称存在稀疏重构。我们首先证明，若底层测度为乘积测度，则对任意一列传递函数都不可能实现稀疏重构。我们在不同框架下讨论该问题，分别在 $L^2$ 和熵的意义下度量信息含量。我们还指出了一些与合作博弈论的有趣联系。除传递函数外，我们证明正方形格点上临界平面渗流的自左向右跨越事件也不允许稀疏重构。其中部分结果回答了 Itai Benjamini 提出的问题。