局部差分隐私下稀疏离散Laplace和高斯机制

我们研究形式为 $M(y|x)\propto w(x,y) 1\{y\in S(x)\}$ 的稀疏局部私有信道，其中可依赖于私有输入 $x$ 的可接受输出集合 $S(x)$ 且假设其规模较小。这里，我们考虑核函数为 $w(x,y)=e^{-\lambda d(x,y)}$ 的稀疏离散Laplace族以及核函数为 $w(x,y)=e^{-d(x,y)^2/(2\sigma^2)}$ 的稀疏高斯族。对于这两类族，我们给出纯形式和近似形式局部差分隐私的精确特征。对于纯 $\varepsilon$ 局部差分隐私，我们指出当所有支持集相同时，才会得到输入依赖的稀疏支持。对于 $(\varepsilon,\delta)$ 近似局部差分隐私，我们依据支持泄露和重叠区域的多余隐私损失，推导了隐私缺陷的精确公式。随后，我们针对半径截断的稀疏离散Laplace和半径截断的稀疏高斯机制，获得了以支持大小 $s$ 为参数的隐私-稀疏性权衡的显式公式。特别地，我们指出实现非平凡近似局部隐私需要最小支持大小，而更大的支持则减少支持泄露但增加失真。在高斯族中，重叠项对支持半径呈现额外的二次依赖，这意味着隐私和稀疏性之间存在更尖锐的权衡。这些结果将支持基数识别为该机制的内在复杂度参数，并 yield 一个最优设计原则：选择满足目标隐私约束的最小支持大小。