离散曲面与分段线性流形的若干结构与计数组合性质

本手稿回顾了作者在代数与计数组合学方面的一些贡献。我们聚焦于两类二部地图（即嵌入于曲面上的二部图）的推广。地图已知出现在理论物理与离散数学的诸多领域中，但基础计算机科学的一个关键兴趣点在于其多面性：存在多种不可互换的编码方式，如 Tutte 方程/圈方程、拓扑递推、KP hierarchy 以及大量使该领域如此丰富的双射。我们考虑的一类推广是加权 Hurwitz 数，包括星座、单调 Hurwitz 数以及 Chapuy-Dołęga 的非定向版本。我们研究了地图的某些普适结构是否能提升为加权 Hurwitz 数，例如拓扑递推（对于定向、双重、加权 Hurwitz 数，可以），以及某些非定向加权 Hurwitz 数（如单调情形）从 KP 到 BKP hierarchy 的过渡。我们考虑的另一类二部地图推广是三维及更高维的着色三角剖分。它们为拓扑与组合提供了良好的交汇点，可借此研究高于二维的普适类。特别地，我们发现，在四面体数固定时使边数最大化的 3-球粘合与树一一对应。然而在偶维情形，我们发现依据构建块的选择可达到更多普适类。我们还探究了地图所具有的某些普适结构是否能提升至高维。特别地，我们在三维模型及饰以交叉圈的地图中证明了格式分解的若干实例，并在仅温和假设下证明了团块化拓扑递推。