关于 Schubert 多项式的滑分解的一些结果

Schubert 多项式展开为滑多项式对应于子球体在子词复合体中的求和。近期对 Schubert 多项式的其他较粗糙展开产生了兴趣。我们将 [KM04] 中用于证明子词复合体为球或球体的方法推广到更一般的方法，并用它来证明 Schubert 多项式展开为森林多项式也对应于子球体在子词复合体中的求和。当将两个 Schubert 多项式的乘积 $\mathfrak{S}_\pi\mathfrak{S}_\rho$ 展开为 Schubert 多项式 $\mathfrak{S}_\sigma$ 时，在简化词 $\pi$ 和 $\rho$ 的排列与 $\sigma$ 的简化词（按重数计）之间存在双射。我们给出 Monk 规则和 Sottile 的 Pieri 规则的此类双射。我们给出基于表格的滑多项式、滑草原多项式和基本准对称多项式的定义，并展示将 Schur 多项式展开为基本准对称多项式对应于子球体在表格复合体中的求和。Schubert 多项式是矩阵 Schubert variety 的上同调类，但滑多项式没有几何解释。我们证明滑多项式不是（反对角线）Gröbner 退化的矩阵 Schubert variety，从而否定了 [ST21, 第 1.4 节] 中关于此问题的疑问。