卷积低水平集的一些性质

在本文中，我们证明了关于“卷积低水平集”结构的一个引理，这些集合形如$\{x \in \Z_N : 1_A*1_A(x) \leq \gamma N\}$或$\{x \in \Z_N : 1_A*1_A(x) < \gamma N\}$，其中$A$是$\Z_N$的一个子集。利用这个引理，我们证明的一个结果是：如果$|A| = \theta N$且$|A+A| \leq (1-\eps) N$，$0 < \eps < 1$，那么这个水平集包含一个长度至少为$N^c$的等差数列，其中$c = c(\theta, \eps,\gamma) > 0$。或许可以使用Green的算术正则性引理（结合Bourgain的一些思想）得到这样的结果；然而，我们的证明方法使得我们能够在常数$c$与参数$\theta$和$\eps$之间获得非塔型定量依赖关系。出于各种原因（在文中讨论），人们可能会错误地认为，这样的结果只可能出现在涉及三重及更高重卷积的水平集中。