二维实随机矩阵能级间距分布的若干通用性质

我们研究了二维实随机矩阵的能级间距分布 $P(S)$，包括对称矩阵以及一般的非对称矩阵。在一般情形下，我们将矩阵元素限制为高斯分布，但允许不同的矩阵元素具有不同的宽度。获得了以下结果：推导出了 $P(S)$ 的显式精确公式，并解析研究了其在 $S=0$ 附近的行为，表明除非对矩阵元素的概率分布有额外约束，否则存在线性能级排斥。仅具有正值或仅具有负值但 otherwise 任意的非对角元素的约束会导致带有对数修正的二次能级排斥。这些发现细化并扩展了我们之前在另一篇论文中发表的结果。对于{\em 对称}实二维矩阵，还考虑了其他非高斯统计分布。在这种情况下，我们表明对于对角和非对角元素的任意统计分布，只要矩阵元素的分布函数在零值处正则，能级排斥指数 $\rho$ 始终为 $\rho = 1$。如果矩阵元素的分布函数在 $S$ 的零值附近是奇异（但仍可积）的幂律，则能级间距分布 $P(S)$ 在小 $S$ 处表现为分数指数幂律。$P(S)$ 的尾部取决于矩阵元素统计的更多细节。我们明确计算了四种情况：常数（箱型）分布、Cauchy-Lorentz 分布、指数分布，以及作为奇异分布示例的在零值附近为幂律乘以指数尾部的 $P(S)$ 分布。