基于 PINN 的非凸 Hamilton--Jacobi--Isaacs 方程求解策略迭代
数值分析
2025-07-24 v2 人工智能
数值分析
偏微分方程分析
摘要
我们提出了一种网格自由的策略迭代框架，将经典动态规划与物理信息神经网络(PINNs)结合，用于求解随机微分博弈中出现的高维非凸 Hamilton--Jacobi--Isaacs(HJI) 方程。该方法在固定反馈策略下交替求解线性二阶偏微分方程，并通过自动微分进行点级极小化优化来更新控制器。在标准 Lipschitz 和均匀 ellipticity 假设下，我们证明了值函数迭代在局部一致收敛于 HJI 方程唯一的粘性解。分析建立了迭代的等-Lipschitz 正则性，使无需 Hamiltonian 凸性即可实现可证的稳定性和收敛性。数值实验表明，该方法在准确性和可扩展性方面表现出色。在二维随机路径规划博弈中，遇到移动障碍物时，我们的方法与有限差分基准方法一致， 相对误差低于 。在五维和十维带各向异性噪声的发布-订阅型微分博弈中，所提出的方法持续优于直接 PINN 求解器，产生更光滑的值函数并降低残差。我们的结果表明，将 PINNs 与策略迭代集成是求解高维非凸 HJI 方程的实用且理论依据方法，具有在机器人、金融和多智能体强化学习等领域的潜在应用前景。
引用
@article{arxiv.2507.15455,
title = {Solving nonconvex Hamilton--Jacobi--Isaacs equations with PINN-based policy iteration},
author = {Hee Jun Yang and Minjung Gim and Yeoneung Kim},
journal= {arXiv preprint arXiv:2507.15455},
year = {2025}
}