三次图的可解性——从四色定理到 NP 完全

与欧几里得几何类似，图论是一门研究由点和线组成的图形的科学。欧几里得几何的核心是平行公设，它提供了三角形内角和等于 $\pi$ 这一几何不变量以及求解线性联立方程组的克莱姆法则的基础。由于图论中平行公设的对应物尚不清楚，这可能是图论中两个类似问题，即四色定理（一种拓扑不变量）和 NP 完全问题的可解性（离散联立方程），至今仍未解决的原因。在本文中，基于三次图的复着色，我们提出了 Petersen 构型的可约性公设以填补这一空白。通过将边着色与线性方程组进行比较，我们发现图论中的可约性公设与欧几里得几何中的平行公设共享一些平面的共同特征。首先，它们都为平面上的两个方程提供了可解性条件。其次，平面的两个基本不变量，即无桥三次平面图的色指数和每个三角形的内角和，都可以直接从它们推导出来。这一可约性公设已通过计算机生成的超过十万个 Petersen 构型实例得到验证。尽管如此，我们仍然没有这一断言的逻辑证明。类似于平行公设，我们倾向于认为用更基本的平面性质来描述这些自然定律是不可想象的。