基于显示偏好的社会福利与利润最大化

考虑如下卖方问题：面对一组 $m$ 个消费者，在只能观察到其在标牌价格下购买的捆绑包（即显示偏好）时，为其 $n$ 种（可分割）商品寻找最优价格。我们研究基于显示偏好的社会福利最大化与利润最大化。尽管社会福利最大化在价格上看似是非凸优化问题，我们证明 (i) 它可归约为价格空间中的对偶凸优化问题，且 (ii) 显示偏好可解释为估值凹共轭的超梯度，借此可计算对偶函数的次梯度。由此我们得到一种针对强凹估值与凸成本的简单基于次梯度的算法，其查询复杂度为 $O(m^2/\epsilon^2)$，其中 $\epsilon$ 为本算法诱导的社会福利与最优社会福利之间的加性差值。我们还研究了在线设定下的社会福利最大化，具体而言是随机排列模型，其中消费者以随机顺序逐个到达。对于消费者估值可为任意连续函数的情况，我们提出一种标价机制，其期望社会福利与最大社会福利的差距在加性因子 $O(\sqrt{mn})$ 以内。最后，对于利润最大化（在简单情形下也可能非凸），我们给出了在可分离估值与成本（即每种商品可独立处理）下查询复杂度的近乎匹配的上界与下界。