动态网络中信息传播的平滑分析

规模为 $n$ 的动态网络中 $k$-消息广播的已知最优解需要 $\Omega(nk)$ 轮。在本文中，我们考察是否可通过平滑分析改进这些界。我们研究此设置下传播令牌或许最自然的随机算法：在每个时间步，从已知令牌集合中随机选择一个令牌进行广播。我们表明，即使少量平滑（每轮添加一条随机边），该自然策略也能以高概率在 $\tilde{O}(n+k^3)$ 轮内解决 $k$-消息广播，对 $k=o(\sqrt{n})$ 优于已知最优界，并对 $k=O(n^{1/3})$（忽略对数因子）匹配静态网络 $\Omega(n+k)$ 下界。事实上，我们展示的主要结果更强且更一般：给定 $\ell$-平滑（即每轮添加 $\ell$ 条随机边），该简单策略在 $O(kn^{2/3}\log^{1/3}(n)\ell^{-1/3})$ 轮内终止。随后我们证明该分析近乎紧，给出了几乎匹配的下界。为更好理解平滑对信息传播的影响，我们接下来将注意力转向静态网络，证明了解决 $k$-消息广播的紧界 $\tilde{O}(k\sqrt{n})$ 轮，优于我们的策略在动态设置中所能达成的性能。这证实尽管平滑分析减少了变化图结构带来的困难，但并未完全消除它们。最后，我们应用我们的工具证明了在无平滑的所谓充分混合网络中 $k$-消息广播的最优结果。通过将此结果与充分混合网络现有下界比较，我们确立了关于充分混合令牌传播的无知 adversary 与强自适应 adversary 之间的形式化分离，部分解决了关于 adversary 强度对 $k$-消息广播问题影响的开放问题。