拟周期薛定谔算子的小分母与大分子

我们开启一种同时处理拟周期薛定谔算符产生的格林函数分子与分母的方法，这特别允许我们研究几乎 Mathieu 算符的完全共振相。令 $(H_{\lambda,\alpha,\theta}u) (n)=u(n+1)+u(n-1)+ 2\lambda \cos2\pi(\theta+n\alpha)u(n)$ 为 $\ell^2(\mathbb{Z})$ 上的几乎 Mathieu 算符，其中 $\lambda, \alpha, \theta\in \mathbb{R}$。令 $$\beta(\alpha)=\limsup_{k\rightarrow \infty}-\frac{\ln ||k\alpha||_{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}}{|k|}.$$ 我们证明对任意满足 $2\theta\in \alpha \mathbb{Z}+\mathbb{Z}$ 的 $\theta$，若 $|\lambda|>e^{2\beta(\alpha)}$，则 $H_{\lambda,\alpha,\theta}$ 满足 Anderson 局域化。这证实了 Avila 与 Jitomirskaya [The Ten Martini Problem. Ann. of Math. (2) 170 (2009), no. 1, 303--342] 的一个猜想以及 Jitomirskaya [Almost everything about the almost Mathieu operator. II. XIth International Congress of Mathematical Physics (Paris, 1994), 373--382, Int. Press, Cambridge, MA, 1995] 猜想的一个特例。